1月2日に見る夢を初夢といいますね。元旦から2日にかけて見る夢とされる場合もあるようですが。
初夢で見ると縁起がいいものとして「一富士二鷹三茄子」がありますが、私はいまだに初夢で一富士二鷹三茄子を見たことがありません。
日本ではその年で最初に見る夢を初夢として特別視しますが、アメリカやイギリスなどではそのような習慣がありません。
なので初夢と言いたい時にはそれを表す英単語が特にないので、first dream of the New Yearのように説明っぽい言い方になります。
見る/見たと言いたい時、seeやsawを使いたくなりますが、I had my first dream of the New Year last night.のように、have/hadを使う方が自然な感じになります。
Did you have your first dream of the New Year? What was your first dream?